Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²-16n-6，求數(shù)列{|a_n|}的前n項和S_n′=

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知，當n≤8時，|a_n|中第一項是21，第二項起是以13為首項，-2為公差的等差數(shù)列，由此可求出當n≤8時S_n′的表達式．當n≥9時，此時|a_n|的前8項之和S8′=21+

7

2

(13+1)=70，|a_n|的后n-8項是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，由此可求出當n≥9時S_n′的表達式．

解答：解：∵S_n=n²-16n-6，∴S_n-1=（n-1）²-16（n-1）-6，a₁=S₁=-21，
a_n=S_n-S_n-1=2n-17，當n=1時，2n-17=-15≠a₁，∴an=

-21，n=1 2n-17，n≥2

．
由2n-17≥0得n≥

17

2

．∴當n≤8時，|a_n|=-a_n=

21，n=1 17-2n，2≤n≤8

，可算出當n=8時，S8′=21+

7

2

(13+1)=70，當n≤8時，|a_n|中第一項是21，第二項起是以13為首項，-2為公差的等差數(shù)列，∴Sn′=21+13(n-1)+

(n-1)(n-2)

2

×(-2)=--n²+16n+6．
當n≥9時，此時|a_n|的前8項之和已得出為70，|a_n|的后n-8項是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，后n-8項的和為Tn=(n-8)×1+

(n-8)(n-9)

2

×2=n²-16n+64，∴S_n′=S₈′+T_n=n²-16n+134．
∴S_n′=

-n2+16n+6，n≤8 n2-16n+134，n≥9

．
故答案為：

-n2+16n+6，n≤8 n2-16n+134，n≥9

．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答．