Question

22．函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且 設(shè)是曲線在點(diǎn)（）處的切線方程，并設(shè)函數(shù)

   （Ⅰ）用、、表示m；

   （Ⅱ）證明：當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g(x)≥f(x)；

   （Ⅲ）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.

Answer 1

22.（Ⅰ）解：

   （Ⅱ）證明：

令

  因?yàn)?SUB>遞減，所以遞增，因此，當(dāng)；

    當(dāng).所以是唯一的極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，可知的最小值為0，因此即

   （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

    對(duì)任意成立的充要條件是

    另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過(guò)點(diǎn)（0，）與曲線相切的直線的斜率不大于，該切線的方程為

    于是的充要條件是

    綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是          ①     

    顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式

  ②

    有解.

解不等式②得

                          ③

    因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.

（Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.

       對(duì)任意成立的充要條件是      

    令，于是對(duì)任意成立的充要條件是

     由

    當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值.因此成立的充要條件是，即

    綜上，不等式對(duì)任意成立的充要條件是

             ①

    顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式

  ②

    有解.

解不等式②得

    因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實(shí)數(shù)在a與b所滿足的關(guān)系.