Question

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長BD至點(diǎn)E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣
（1）求A的逆矩陣A^-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：A．要證AD 的延長線平分∠CDE，即證∠EDF=∠CDF，根據(jù)A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．
B．（1）根據(jù)所給的矩陣求這個矩陣的逆矩陣，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩陣的公式，求出結(jié)果．
（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
C．曲線C為：x²+y²-4y=0，圓心（0，2），半徑為2，由此能求出直線被曲線C載得的線段長度．
D．對左邊變形（+）+（+）+（+）后兩項應(yīng)用基本不等式，得到三個不等式后相加即得．
解答：解：A：設(shè)F為AD 延長線上一點(diǎn)，
∵A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，∴∠ABC=∠CDF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
∵對頂角∠EDF=∠ADB，∴∠EDF=∠CDF，
故AD的延長線平分∠CDE．
B：解：（1）ad-bc=4+2=6，
A^-1==，
∴A-1=．
（2）矩陣A的特征多項式為f（λ）==λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
當(dāng)λ₁=2時，得=，當(dāng)λ₂=3時，得=．
所以矩陣A屬于特征值2的一個特征向量為，
矩陣M屬于特征值3的一個特征向量為．
C：曲線C為：x²+y²-4y=0，圓心（0，2），半徑為2，
直線l為：x-y+1=0，圓心到直線的距離為：d=
直線被曲線C載得的線段長度為：2．
D：證明：∵a、b、c均為實數(shù)，
∴（+）≥≥，當(dāng)a=b時等號成立；
（+）≥≥，
當(dāng)b=c時等號成立；
（+）≥≥．
三個不等式相加即得++≥++，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立．
點(diǎn)評：A考查直線與圓的位置關(guān)系，B考查逆矩陣的求法和矩陣的特征值和特征向量的求法，C考查極坐標(biāo)標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用，D考查不等式的證明．都是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．