Question

設(shè)二次方程有兩根α和β，且滿足6α-2α•β+6β=3，
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用韋達(dá)定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得a_n+1與a_n的遞推關(guān)系整理即可證：數(shù)列{a_n-}是等比數(shù)列；
（2）先利用（1）求出數(shù)列{a_n-} 的通項(xiàng)公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．，然后利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及錯(cuò)位相減求和方法即可求解
解答：證明：（1）由韋達(dá)定理得α+β=，α•β=
由6α-2αβ+6β=3得，
故a_n+1-=a_n，
∴a_n+1-=（a_n-）
∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列
解：（2）∵
∴=
∴數(shù)列是以為公比以為首項(xiàng)的等比數(shù)列
∴
∴
令
∴=
兩式相減可得，=
=
==
∴
）
=
=
=
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)列的遞推關(guān)系以及韋達(dá)定理和等比數(shù)列知識(shí)的綜合考查．本題雖然問(wèn)比較多，但每一問(wèn)都比較基礎(chǔ)，屬于中檔題．