Question

已知函數(shù)f(x)=

x-1

ex

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)y=g（x）對(duì)任意x滿足g（x）=f（4-x），求證：當(dāng)x＞2，f（x）＞g（x）；
（3）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求證：x₁+x₂＞4．

Answer 1

分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出極值；
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=

x-1

ex

-

3-x

e4-x

，求出其導(dǎo)函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的值來(lái)判斷其在（2，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而證得結(jié)論．
（3）先由（1）得f（x）在（-∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，故x₁、x₂不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)；設(shè)x₁＜2＜x₂，由（2）可知f（x₂）＞g（x₂），即f（x₁）＞f（4-x₂）．再結(jié)合單調(diào)性即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=

x-1

ex

，∴f'（x）=

2-x

ex

．（2分）
令f'（x）=0，解得x=2．

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值 1 e2	↘

∴f（x）在（-∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．（3分）
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極大值f（2）=

1

e2

．（4分）
（2）證明：g(x)=f(4-x)=

3-x

e4-x

，令F(x)=f(x)-g(x)=

x-1

ex

-

3-x

e4-x

，
∴F'（x）=

2-x

ex

-

2-x

e4-x

=

(2-x)(e4-e2x)

ex+4

．（6分）
當(dāng)x＞2時(shí)，2-x＜0，2x＞4，從而e⁴-e^2x＜0，
∴F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（2，+∞）是增函數(shù)．
∴F(x)＞F(2)=

1

e2

-

1

e2

=0，故當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)＞g(x)成立．（8分）
（3）證明：∵f（x）在（-∞，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．
∴當(dāng)x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），x₁、x₂不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．
不妨設(shè)x₁＜2＜x₂，由（2）可知f（x₂）＞g（x₂），
又g（x₂）=f（4-x₂），∴f（x₂）＞f（4-x₂）．
∵f（x₁）=f（x₂），∴f（x₁）＞f（4-x₂）．
∵x₂＞2，4-x₂＜2，x₁＜2，且f（x）在區(qū)間（-∞，2）內(nèi)為增函數(shù)，
∴x₁＞4-x₂，即x₁+x₂＞4．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，并考查數(shù)學(xué)證明．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問(wèn)題，是函數(shù)這一章最基本的知識(shí)，也是．教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．