Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x2+2|x﹣a|，x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）在x=﹣1取得最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x∈R，則f（﹣x）=f（x）恒成立，

即﹣（﹣x）2+2|﹣x﹣a|=﹣x2+2|x﹣a|恒成立，

∴|x﹣a|=|x+a|恒成立，

兩邊平方得：x2﹣2ax+a2=x2+2ax+a2，

∴a=0；

（2）解： ，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在x=﹣1時(shí)取得最大值，

當(dāng)a≥1時(shí)，必須f（﹣1）≥f（a），即1+2a≥﹣a2+2a﹣2a，即（a+1）2≥0，所以a≥1適合題意；

當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，必須f（﹣1）≥f（1），即1+2a≥1﹣2a，即a≥0，所以0≤a＜1適合題意；

當(dāng)a≤﹣1時(shí)，因?yàn)閒（﹣1）＜f（1），不合題意，

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．

（3）解： ，

， ，

當(dāng)△1=0時(shí)， ，此時(shí)函數(shù) 有三個(gè)零點(diǎn)1， ；

當(dāng)△2=0時(shí)， ，此時(shí)函數(shù) 有三個(gè)零點(diǎn) ；

當(dāng)△1＞0，△2＞0時(shí)，即 時(shí)，方程﹣x2+2x﹣2a=0的兩根為 ，

方程﹣x2﹣2x+2a=0的兩根為 ，

因?yàn)? ，所以 且 ，解得a=0，

或者 且 ，此時(shí)無解，

綜上得 或0．

【解析】（1）由偶函數(shù)的定義，可得f（﹣x）=f（x），化簡整理可得a=0；（2）去絕對值，運(yùn)用分段函數(shù)的形式，寫出f（x），討論當(dāng)a≥1時(shí)，當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，當(dāng)a≤﹣1時(shí)，考慮最大值，解不等式即可得到a的范圍；（3）去絕對值，運(yùn)用分段函數(shù)的形式，寫出f（x），討論兩個(gè)二次函數(shù)的判別式，等于0或大于0，解方程（或不等式）即可得到a的值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲担焕�用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲�)，還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．