Question

點(diǎn)A、B分別是以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且位于x軸上方， 

（1）求橢圓C的的方程；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

（3）當(dāng)時(shí)，d取最小值 。

【解析】

試題分析：（I）求出雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)，得出橢圓的a，c，b即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

（Ⅱ）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由已知得，與(x+6)(x-4)+y²=0

解方程組可得點(diǎn)P的坐標(biāo)

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M是（m，0）于是=|m-6|，解出m=2，建立橢圓上的點(diǎn)到M的距離d的表達(dá)式，用函數(shù)知識(shí)求最值。

（1）已知雙曲線實(shí)半軸a₁=4，虛半軸b₁=2，半焦距c₁=，

∴橢圓的長(zhǎng)半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸=，

∴所求的橢圓方程為                    …………4分

（2）由已知,，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則

由已知得

              …………6分

則，解之得，       

由于y>0，所以只能取，于是，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為……8分

（3）直線，設(shè)點(diǎn)M是，則點(diǎn)M到直線AP的距離是，于是，

又∵點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，即         …………10分

∴當(dāng)時(shí)，橢圓上的點(diǎn)到的距離

   

又   ∴當(dāng)時(shí)，d取最小值          …………12分

考點(diǎn)：本題主要考查了圓錐曲線的幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程、距離求解．考查函數(shù)知識(shí)、方程思想、計(jì)算能力．

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)來表示出橢圓的a,b,c，進(jìn)而得到方程，同時(shí)聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而分析最值。