Question

如果實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足

x≥0 y≥0 2x+y≤2

，對(duì)任意的正數(shù)a，b，不等式ax+by≤1恒成立，則a+b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件

x≥0 y≥0 2x+y≤2

的平面區(qū)域，求出各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)任意的正數(shù)a，b，不等式ax+by≤1恒成立，構(gòu)造關(guān)于a，b的不等式組，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，即可得到a+b的取值范圍．

解答：解：滿(mǎn)足約束條件

x≥0 y≥0 2x+y≤2

的平面區(qū)域如下圖所示，
由于對(duì)任意的正數(shù)a，b，不等式ax+by≤1恒成立，
又ax+by的最大值在右上邊界處取到，即在點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（1，0）處取到
∴

a≤1 2b≤1

即

a≤1 b≤ 1 2

又∵a＞0，b＞0，
∴a＜a+b≤

3

2

故a+b的取值范圍是(0，

3

2

]
故答案為：(0，

3

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃，其中根據(jù)約束條件，畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件的可行域并求出各角點(diǎn)的坐標(biāo)，是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．