Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是R，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0 時(shí)，0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）若f（1）=

1

2

，求

f(1)+f(2)

f(1)

的值；
（Ⅱ）求證：f（0）=1，且當(dāng)x＜0時(shí)，有f（x）＞1；
（Ⅲ）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（m+n）=f（m）•f（n），可令m=n=1，先求出f（2），然后由f（1）=

1

2

，即可求出

f(1)+f(2)

f(1)

的值；
（2）賦值求出f（0）=1，令m=x，n=-x，代入恒等式即得證；
（3）先在定義域內(nèi)任取兩個(gè)值x₁，x₂，并規(guī)定大小，然后判定出f（x₁），與f（x₂）的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義可知結(jié)論；

解答：解：（1）令m=n=1，則f（2）=f（1）f（1）=

1

4

，
∴

f(1)+f(2)

f(1)

=

1 2 + 1 4

1 2

=

3

2

（2）證明：①令y=0，x=1，得f（1）=f（1）f（0）
∵x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，
∴f（1）＞0…（3分）
∴f（0）=1
②當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，
令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得f(x)=

1

f(-x)

由于當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1
則0＜f（-x）＜1，即f(x)=

1

f(-x)

＞1
故當(dāng)x＜0時(shí)，有f（x）＞1
（3）函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)
證明如下：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則x₂-x₁＜0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）f（x₁）＜f（x₁）
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．