Question

【題目】如圖，在四棱柱中，側(cè)面底面，，底面為直角梯形，其中，，，為中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先證四邊形為平行四邊形，可得，進(jìn)而由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）先證底面，進(jìn)而 可以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，再利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）如圖，連接、、、，

則四邊形為正方形，所以，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）因?yàn)?/span>，為中點(diǎn)，所以，

又側(cè)面底面，

所以底面，

以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，

所以，，，，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

由，，得

令，則，，∴，

又設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

由，，得

令，則，，∴，

則，

故所求銳二面角的余弦值為．