已知橢圓過點，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與軸正半軸、軸分別交于點，與橢圓分別交于點，各點均不重合，且滿足，． 當時，試證明直線過定點．過定點（1，0）

 

【答案】

（1）

（2）結(jié)合向量關(guān)系式，以及韋達定理，來分析直線的方程，進而得到定點坐標。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為                        1分

由題意知，且又

所以橢圓方程為.　　　　　　　　                           4分

（Ⅱ）由題意設(shè)的方程為       5分

由知6分

同理由知

∵，∴　　�。�1）　　　         7分

聯(lián)立得，                          8分

只需　　  （2）

且有　　　　 （3）　　　　                 9分

把（3）代入（1）得且滿足（2），              10分

依題意，，故

從而的方程為，即直線過定點（1，0）                              12分

考點：橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系

點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運用，代數(shù)法來設(shè)而不求的解題思想是解析幾何的本質(zhì)，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長軸長為4，離心率為
1
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點．一動圓過點F2，且與直線x=-1相切．
（Ⅰ） （�。┣髾E圓C1的方程；
（ⅱ）求動圓圓心軌跡C的方程；
（Ⅱ）在曲線C上有四個不同的點M，N，P，Q，滿足
MF2
與
NF2
共線，
PF2
與
QF2
共線，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其左右焦點分別為F1、F2，A、B分別為橢圓的上、下頂點，如果四邊形AF1BF2為邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點為M，N，過點M作x軸的垂線l，在l上任取一點P，連接PN交橢圓C于Q，探究
OP
•
OQ
是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河北區(qū)一模）已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），過其左焦點F1（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
與
a
=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-
1
2
=0，在l上求一點M，使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長，求點M的坐標和此雙曲線E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆廣東省高二第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓過點,其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列.直線與軸正半軸和軸分別交于點、，與橢圓分別交于點、,各點均不重合且滿足

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，試證明：直線過定點并求此定點.

 

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