Question

下列關于圓錐曲線的命題：
①設A，B為兩個定點，若|PA|-|PB|=2，則動點P的軌跡為雙曲線；
②設A，B為兩個定點，若動點P滿足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，則|PA|的最大值為8；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點．
其中真命題的序號

②③④

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則2要小于A、B為兩個定點間的距離；
②正確．由題意可知點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，其中a=5，c=3，由此能夠推導出|PA|的最大值a+c．
③正確．方程2x²-5x+2=0的兩根

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④正確．雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1焦點坐標都是（±

34

，0）．

解答：解：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則2要小于A、B為兩個定點間的距離．當2大于A、B為兩個定點間的距離時動點P的軌跡不是雙曲線．
②正確．設點P的坐標為（x，y），∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=6，
∴點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，
其中a=5，c=3，則|PA|的最大值為a+c=8．
③正確．方程2x²-5x+2=0的兩根分別為

1

2

和2，

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
④正確．雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1焦點坐標都是（±

34

，0）．
故答案為：②③④．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的基本性質，考查了命題的真假判斷與應用，解題時要準確理解概念．