Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)的兩個極值點(diǎn),恰為的零點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】(I)當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；(II).

【解析】

試題分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論的取值，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；（II）對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，利用極值的定義得出時存在兩正根、；再利用判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)的定義，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的最小值．

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)，，；

當(dāng)時，由解得，即當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

由解得，即當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，故，即在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為； ...（5分）

（Ⅱ），則，

的兩根、即為方程的兩根；

又，

，，； ...（7分）

又，為的零點(diǎn)，

，

兩式相減得,

得,

而,

， ...（10分）

令，

由得，

因為，兩邊同時除以，得，

，故，解得或，； ...（12分）

設(shè)，

，則在上是減函數(shù)，

.

即的最小值為 ...（14分）