Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，記，；

（1）求實(shí)數(shù)、的值；

（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；

（3）對于定義在上的函數(shù)，設(shè)，，用任意將劃分成個(gè)小區(qū)間，其中，若存在一個(gè)常數(shù)，使得不等式恒成立，則稱函數(shù)為在上的有界變差函數(shù)，試證明函數(shù)是在上的有界變差函數(shù)，并求出的最小值；

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析，；

【解析】

（1）由已知在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及最值，易構(gòu)造關(guān)于的方程組，解得的值。

（2）求出，對任意恒成立等價(jià)于恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍。

（3）根據(jù)有界變差函數(shù)的定義，我們先將區(qū)間進(jìn)行劃分，進(jìn)而判斷是否恒成立，進(jìn)而得到結(jié)論。

（1）因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，對稱軸

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，

又函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為

所以

解得：

所以

故實(shí)數(shù)

（2）由（1）可知

因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)?/span>對任意恒成立，

令

根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得：

則

令，則

解得：

即

所以

（3）函數(shù)為上的有界變差函數(shù)，又為上的單增函數(shù)，

且對任意劃分

有

所以

所以存在常數(shù)M使得恒成立，即