Question

（2012•開封二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°．
（1）證明：∠PBC=90°；
（2）若PB=3，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取AD中點O，連OP、OB，證明AD⊥平面POB，利用BC∥AD，可得BC⊥平面POB，從而可得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

解答：（1）證明：取AD中點O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又OP∩OB=O，∴AD⊥平面POB，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，
∵PB?平面POB，∴BC⊥PB，即∠PBC=90°．
（2）解：如圖，以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，則A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），
由PO=BO=

3

，PB=3，得∠POB=120°，∴∠POz=30°，∴P（0，-

3

2

，

3

2

），
則

AB

=（-1，

3

，0），

BC

=（-1，0，0），

PB

=（0，

3 3

2

，-

3

2

），
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），則

-x=0 3 3 2 y- 3 2 z=0

，取z=

3

，則

n

=（0，1，

3

），
設(shè)直線AB與平面PBC所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

AB

，

n

＞|=

3

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直，考查線面角，考查空間想象能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．