已知向量
a
=(1,
3
)
,
b
=(-2,0).
(Ⅰ) 求向量
a
-
b
的坐標(biāo)以及
a
-
b
a
的夾角;
(Ⅱ)當(dāng)t∈[-1,1]時(shí),求|
a
-t
b
|的取值范圍.
分析:(Ⅰ)求出 
a
 -
b
  的坐標(biāo),設(shè)
a
-
b
 與
a
的夾角為 θ,則由 cos<
a
-
b
,
a
>=
(
a
-
b
) •
a
|
a
-
b
|•|
a
|
 求出 θ 
的值.
(Ⅱ)當(dāng)t∈[-1,1]時(shí),
a
-t •
b
=(1+2t,
3
 ),得|
a
-t •
b
|=
(1+2t )2+3
=
4t2+4t+4
 
在[-1,-
1
2
]上單調(diào)遞減,在[-
1
2
,1]單調(diào)遞增,由二次函數(shù)的性質(zhì)求得|
a
-t •
b
|的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ) 
a
 -
b
=(1,
3
 )-(-2,0 )=( 3,
3
 ),設(shè)
a
-
b
 與
a
的夾角為 θ,
則 cos<
a
-
b
,
a
>=
(
a
-
b
) •
a
|
a
-
b
|•|
a
|
=
3•(-2)+0
9+3
1+3
=-
3
2

根據(jù)題意得 0≤θ≤π,∴θ=
6

(Ⅱ)當(dāng)t∈[-1,1]時(shí),
a
-t •
b
=(1+2t,
3
 ),
∴|
a
-t •
b
|=
(1+2t )2+3
=
4t2+4t+4
 在[-1,-
1
2
]上單調(diào)遞減,在[-
1
2
,1]單調(diào)遞增,
∴t=-
1
2
 時(shí),|
a
-t •
b
|有最小值
3
,t=1時(shí),|
a
-t •
b
|有最大值 2
3

故|
a
-t •
b
|的取值范圍[
3
,2
3
].
點(diǎn)評(píng):本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,向量的模的定義和求法,
函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,準(zhǔn)確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(1, -3),  
b
=(-2,  m)
,且
a
⊥(
a
-
b
)

(1)求實(shí)數(shù)m和
a
b
的夾角;
(2)當(dāng)k
a
+
b
a
-
b
平行時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(1,3)
b
=(3,x)
,若
a
b
,則實(shí)數(shù)x的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(1,
3
)
,
b
=(-2,2
3
)
,則
a
、
b
的夾角是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(1,3)
,則與向量
a
平行的一個(gè)單位向量是
10
10
3
10
10
)或(-
10
10
,-
3
10
10
10
10
,
3
10
10
)或(-
10
10
,-
3
10
10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(1,
3
),
b
=(-1,1)
,則(
a
+
b
)•(
a
-
b
)
=( 。

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