設(shè)直線l1：y=k1x+1，l2：y=k2x-1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2+2=0．證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上．
分析：將兩直線方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程左側(cè)，若滿足方程，則得到證明點(diǎn)在線上．
解答：證明：由方程組
y=k1x+1
y=k2x-1

解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）為
x=
2
k2-k1
y=
k2+k1
k2-k1
.

而2x2+y2=2(
2
k2-k1
)2+(
k2+k1
k2-k1
)2=
8+
k
2
2
+
k
2
1
+2k1k2
k
2
2
+
k
2
1
-2k1k2
=
k
2
1
+
k
2
2
+4
k
2
1
+
k
2
2
+4
=1．
此即表明交點(diǎn)P（x，y）在橢圓2x2+y2=1上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、考查通過解兩條直線方程構(gòu)成的方程組求出兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓┍的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-a，b）．
（1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)M、A（0，-b），B（a，0）滿足
PM
=
1
2
（
PA
+
PB
），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l1：y=k1x+p交橢圓┍于C、D兩點(diǎn)，交直線l2：y=k2x于點(diǎn)E．若k1•k2=-
b2
a2
，證明：E為CD的中點(diǎn)；
（3）對(duì)于橢圓┍上的點(diǎn)Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果橢圓┍上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
，寫出求作點(diǎn)P1、P2的步驟，并求出使P1、P2存在的θ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓Γ的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）為Γ的三個(gè)頂點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M滿足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l1：y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn)，交直線l2：y=k2x于點(diǎn)E．若k1•k2=-
b2
a2
，證明：E為CD的中點(diǎn)；
（3）設(shè)點(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，如何構(gòu)作過PQ中點(diǎn)F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個(gè)交點(diǎn)P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
PP1
+
PP2
=
PQ
？令a=10，b=5，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-8，-1），若橢圓Γ上的點(diǎn)P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
，求點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)直線l1：y=k1x+1，l2：y=k2x-1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2+1=0．
（Ⅰ）證明：直線l1與l2相交；
（Ⅱ）證明：直線l1與l2的交點(diǎn)在圓x2+y2=1上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•青浦區(qū)一模）設(shè)直線L1：y=k1x+p，p≠0交橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）于C、D兩點(diǎn)，交直線L2：y=k2x于點(diǎn)E．
（1）若E為CD的中點(diǎn)，求證：k1•k2=-
b2
a2
；
（2）寫出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真；
（3）請(qǐng)你類比橢圓中（1）、（2）的結(jié)論，寫出雙曲線中類似性質(zhì)的結(jié)論（不必證明）．

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