Question

定理：三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一條直線（歐拉線）上，且

OG

=

1

3

OH

，其中外心O是三條邊的中垂線的交點(diǎn)，重心G是三條邊的中線的交點(diǎn)，垂心H是三條高的交點(diǎn)．如圖，在△ABC中，AB＞AC，AB＞BC，M是邊BC的中點(diǎn)，AH⊥BC（N是垂足），O是外心，G是重心，H是垂心，OM=1，則根據(jù)定理可求得

OG

•

HN

的最大值是

1

12

．

Answer 1

分析：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知逐一求出O，A，G，H，N及向量

OG

和

HN

的坐標(biāo)，代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出

OG

•

HN

的最大值

解答：解：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
∵OM=1，故O點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（3x，3y），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（3x，0），
∵△ABC中，AB＞AC，故x＞0，y＞0
由G為△ABC的重心，故G點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
則

OG

=（x，y-1）
又∵

OG

=

1

3

OH

，
∴

OH

=（3x，3y-3），故H點(diǎn)的坐標(biāo)是（3x，3y-2）
則

HN

=（0，2-3y）
則

OG

•

HN

=（x，y-1）（0，2-3y）=-3y²+5y-2
故當(dāng)y=

5

6

時(shí)，

OG

•

HN

取最大值

1

12

故答案為：

1

12

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，其中建立坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵．