對于數(shù)列
，把
作為新數(shù)列
的第一項，把
或
（
）作為新數(shù)列的第
項，數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列．例如，數(shù)列
的一個生成數(shù)列是
．已知數(shù)列為數(shù)列
的生成數(shù)列，
為數(shù)列的前
項和．
（1）寫出
的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列滿足
，求數(shù)列
的通項公式；
（3）證明：對于給定的
，
的所有可能值組成的集合為
．
（1）
（2）
（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）列舉出數(shù)列所有可能情況，共
種，分別計算和值為，本題目的初步感觀生成數(shù)列（2）已知和項解析式，則可利用
求通項. 當
時，
，而
當且僅當
時，才成立．所以（3）本題實際是對（1）的推廣.證明的實質(zhì)是確定集合的個數(shù)及其表示形式.首先集合的個數(shù)最多有
種情形，而每一種的值都不一樣，所以個數(shù)為種情形，這是本題的難點，利用同一法證明. 確定集合的表示形式，關(guān)鍵在于說明分子為奇數(shù).由
得分子必是奇數(shù)，奇數(shù)個數(shù)由范圍
確定.
試題解析：解：（1）由已知，
，
，
∴
，
由于
，
∴可能值為． 3分
（2）∵，
當
時，
，
當時，
，
，
， 5分
∵是
的生成數(shù)列，
∴
；
；
；
∴
在以上各種組合中，
當且僅當
時，才成立．
∴
． 8分
（3）
共有種情形．
，即，
又
，分子必是奇數(shù)，
滿足條件
的奇數(shù)
共有個． 10分
設(shè)數(shù)列
與數(shù)列為兩個生成數(shù)列，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為
，從第二項開始比較兩個數(shù)列，設(shè)第一個不相等的項為第
項．
由于
，不妨設(shè)
，
則
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
中，
，對
總有
成立，
（1）計算
的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想數(shù)列的通項
，并用數(shù)學歸納法證明
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
和
的通項公式分別為
，
.將與中的公共項按照從小到大的順序排列構(gòu)成一個新數(shù)列記為
.
(1)試寫出
，
，
，
的值，并由此歸納數(shù)列的通項公式；
(2)證明你在（1）所猜想的結(jié)論.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設(shè)
,用
表示
當
時的函數(shù)值中整數(shù)值的個數(shù).
(1)求的表達式.
(2)設(shè)
,求
.
(3)設(shè)
,若
,求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
若數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．
(1)設(shè)數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，若a1＝1，a2＝－2，試寫出該數(shù)列的前6項，并求出前6項之和；
(2)在“凸數(shù)列”{an}中，求證：an＋3＝－an，n∈N*；
(3)設(shè)a1＝a，a2＝b，若數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”，求數(shù)列前2011項和S2011.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
若無窮數(shù)列
滿足：①對任意
，
；②存在常數(shù)
，對任意，
，則稱數(shù)列為“
數(shù)列”.
（Ⅰ）若數(shù)列的通項為
，證明：數(shù)列為“數(shù)列”；
（Ⅱ）若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對任意，
；
（Ⅲ）若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且數(shù)列為“數(shù)列”，證明：存在
，數(shù)列
為等差數(shù)列.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
的通項公式為
，數(shù)列
的前
項和為
，且滿足
．
（1）求的通項公式；
（2）在中是否存在使得
是中的項，若存在，請寫出滿足題意的其中一項；若不存在，請說明理由．
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滿足：
，且
，
．
；
an.