【題目】已知二次函數(shù)f(x)=x2﹣ax+a(x∈R)同時滿足:
①不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素;
②在定義域內(nèi)存在0<x1<x2 , 使得不等式f(x1)>f(x2)成立.設數(shù)列{an}的前n項和Sn=f(n).
(1)求f(x)的表達式;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設 ,cn= ,{cn}的前n項和為Tn , 若Tn>2n+t對任意n∈N,n≥2恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】
(1)
解:由不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素得△=a2﹣4a=0,
解得a=0或a=4.
當a=0時,f(x)=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故不存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立;
當a=4時,f(x)=x2﹣4x+4在(0,2)上單調(diào)遞減,故存在0<x1<x2,使得不等式f(x1)>f(x2)成立.
綜上,f(x)=x2﹣4x+4
(2)
解:由(1)知: .
當n=1時,a1=S1=1.
當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=(n2﹣4n+4)﹣[(n﹣1)2﹣4(n﹣1)+4]=2n﹣5.
∴an=
(3)
解:∵ = ,∴b1=27,b2=9, ,
∴當n≥2時, = ,
∴當n≥2時, ,
Tn>2n+t對n∈N,n≥2恒成立等價于t< 對n∈N,n≥2恒成立,
而 是關于n的增函數(shù),∴當n=2時,(Tn)min=16,
∴實數(shù)t的取值范圍是t<16
【解析】(1)由不等式f(x)≤0的解集有且只有一個元素得△=0,解得a=0或a=4.對a分類討論,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.(2)由(1)知: .當n=1時,a1=S1 . 當n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1 . 即可得出.(3)由(2)及其已知可得bn , cn , Tn , 再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
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【題目】已知向量 , 滿足| |= ,| |=1,且對任意實數(shù)x,不等式| +x |≥| + |恒成立,設 與 的夾角為θ,則tan2θ=( )
A.﹣
B.
C.﹣
D.
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【題目】設函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當x0時,f(x)ax+1,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)y=f(x),將f(x)圖像沿x軸向右平移 個單位,然后把所得到圖像上每一點的縱坐標保持不變,橫坐標擴大到原來的2倍,這樣得到的曲線與y=2sin(x﹣ )的圖像相同,那么y=f(x)的解析式為( )
A.f(x)=2sin(2x﹣ )
B.f(x)=2sin(2x﹣ )
C.f(x)=2sin(2x+ )
D.f(x)=2sin(2x+ )
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【題目】設 ,g(x)=ax+5﹣2a(a>0).
(1)求f(x)在x∈[0,1]上的值域;
(2)若對于任意x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,直線l⊥平面α,垂足為O,已知△ABC中,∠ABC為直角,AB=2,BC=1,該直角三角形做符合以下條件的自由運動:(1)A∈l,(2)B∈α.則C、O兩點間的最大距離為 .
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【題目】(本題滿分15分)如圖,已知四棱錐P–ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.
(Ⅰ)證明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.
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【題目】根據(jù)題意解答
(1)已知函數(shù)f(x)= +9x,若x>0,求f(x)的最小值及此時的x值.
(2)解不等式(x+2)(3﹣x)≥0.
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【題目】如圖所示的幾何體中,底面為菱形, , , 與相交于點,四邊形為直角梯形, , , ,平面底面.
(1)證明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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