Question

【題目】設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，并且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）， ，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)滿足f（x+y）=f（x）+f（y），

∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．

∴f（0）=0

（2）解：∵y=f（x）的定義域?yàn)镽，

f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，

∴y=﹣x，得f（﹣x）+f（x）=f（0）=0，

∴f（x）是奇函數(shù)

（3）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ，且當(dāng)x＞0時，f（x）＞0．

f（x1）=f（x2）+f（x1﹣x2），令x1＞x2，則f（x1）＞f（x2），所以函數(shù)單調(diào)遞增，

∵f（x）+f（2+x）＜2，

∴ ，

∴x取值范圍是（﹣∞，﹣ ）

【解析】（1）由函數(shù)滿足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，能求出f（0）．（2）由y=f（x）的定義域?yàn)镽，f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，令y=﹣x，能推導(dǎo)出f（x）是奇函數(shù)．（3）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可求解．
【考點(diǎn)精析】利用奇偶性與單調(diào)性的綜合對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．