【題目】已知各項不為零的數(shù)列的前項和為,且, , .
(1)若成等比數(shù)列,求實數(shù)的值;
(2)若成等差數(shù)列,
①求數(shù)列的通項公式;
②在與間插入個正數(shù),共同組成公比為的等比數(shù)列,若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的最大值.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】試題分析:(1)依據(jù)題設(shè)條件建立方程,通過解方程組進行分析求解;(2)先依據(jù)題設(shè)條件運用等差數(shù)列的定義建立方程求出參數(shù),再借助數(shù)列的前項和與通項之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式;(3)依據(jù)題設(shè)條件運用兩邊取對數(shù)的方法將問題進行等價轉(zhuǎn)化,然后將參數(shù)進行分離,構(gòu)造函數(shù)運用函數(shù)思想及導數(shù)知識分析求解:
解:(1)當時, , ,當時, , ,
由得,即,解得: 。
(2)由得,故, ,所以,
當時, ,
因為,所以
故數(shù)列的所有奇數(shù)項組成以
其通項公式,
同理,數(shù)列的所有偶數(shù)項組成以為首項為公差的等差數(shù)列,
其通項公式是
所以數(shù)列的通項公式是
(3),在與間插入個正數(shù),組成公比為的等比數(shù)列,故有,
即,
所以,即,兩邊取對數(shù)得,
分離參數(shù)得恒成立
令, ,則, ,
令, ,則,
下證, ,
令, 則,所以,
即,用替代可得, ,
所以,所以在上遞減,
所以
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【題目】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且an>0,an2+an=2Sn .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn= ,記Tn=b12b32…b2n﹣12 , 求證:Tn≥ .
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【題目】如圖,D是直角△ABC斜邊BC上一點,AC= DC.
(Ⅰ)若∠DAC=30°,求角B的大;
(Ⅱ)若BD=2DC,且AD= ,求DC的長.
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【題目】如圖所示,函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )離y軸最近的零點與最大值均在拋物線y=﹣ x2+ x+1上,則f(x)=( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】本市某玩具生產(chǎn)公司根據(jù)市場調(diào)查分析,決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案,準備每天生產(chǎn), , 三種玩具共100個,且種玩具至少生產(chǎn)20個,每天生產(chǎn)時間不超過10小時,已知生產(chǎn)這些玩具每個所需工時(分鐘)和所獲利潤如表:
玩具名稱 | |||
工時(分鐘) | 5 | 7 | 4 |
利潤(元) | 5 | 6 | 3 |
(Ⅰ)用每天生產(chǎn)種玩具個數(shù)與種玩具表示每天的利潤(元);
(Ⅱ)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大,最大利潤是多少?
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【題目】已知橢圓C1: 的離心率為 ,焦距為 ,拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點F是橢圓C1的頂點. (Ⅰ)求C1與C2的標準方程;
(Ⅱ)C1上不同于F的兩點P,Q滿足 ,且直線PQ與C2相切,求△FPQ的面積.
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【題目】兩個非零向量 、 不共線.
(1)若 = + , =2 +8 , =3( ﹣ ),求證:A、B、D三點共線;
(2)求實數(shù)k使k + 與2 +k 共線.
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【題目】《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作,約成書于四、五世紀,也就是大約一千五百年前,傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷,卷中有一問題:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,問積幾何?”該著作中提出了一種解決問題的方法:“重置二位,左位減八,余加右位,至盡虛加一,即得.”通過對該題的研究發(fā)現(xiàn),若一束方物外周一匝的枚數(shù)是8的整數(shù)倍時,均可采用此方法求解,如圖,是解決這類問題的程序框圖,若輸入,則輸出的結(jié)果為( )
A. 120 B. 121 C. 112 D. 113
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【題目】根據(jù)題意解答
(1)求定積分 |x2﹣2|dx的值;
(2)若復數(shù)z1=a+2i(a∈R),z2=3﹣4i,且 為純虛數(shù),求|z1|
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