Question

(08年金華一中理)  （15分） 動(dòng)圓過定點(diǎn)且與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過作曲線兩條互相垂直的弦，設(shè)的中點(diǎn)分別為、。

（1）求曲線的方程；

（2）求證：直線必過定點(diǎn)；

（3）分別以、為直徑作圓，求兩圓相交弦中點(diǎn)的軌跡方程。

Answer 1

解析：（1）設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得…………3分

（2）設(shè)，代入得

，，

故…………5分

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090401/20090401104829009.gif' width=67>，所以將點(diǎn)坐標(biāo)中的換成，即得。………6分

則 ，整理得 

故不論為何值，直線必過定點(diǎn)…………8分

（3）顯然，、都與拋物線相切，半徑分別為，從而

兩式相減并整理，得公共弦所在直線方程為

 

又

故公共弦所在直線過原點(diǎn)。所以 。于是點(diǎn)的軌跡方程是以為直徑的圓（除取直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），其軌跡方程為

      …………15分