【題目】交大設(shè)計(jì)學(xué)院植物園準(zhǔn)備用一塊邊長(zhǎng)為4百米的等邊ΔABC田地(如圖)建立芳香植物生長(zhǎng)區(qū)、植物精油提煉處與植物精油體驗(yàn)點(diǎn).田地內(nèi)擬建筆直小路MN、AP,其中M、N分別為AC、BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在CN上.規(guī)劃在小路MN和AP的交點(diǎn)O(O與M、N不重合)處設(shè)立植物精油體驗(yàn)點(diǎn),圖中陰影部分為植物精油提煉處,空白部分為芳香植物生長(zhǎng)區(qū),A、N為出入口(小路寬度不計(jì)).為節(jié)約資金,小路MO段與OP段建便道,供芳香植物培育之用,費(fèi)用忽略不計(jì),為車輛安全出入,小路AO段的建造費(fèi)用為每百米4萬元,小路ON段的建造費(fèi)用為每百米3萬元.
(1)若擬建的小路AO段長(zhǎng)為百米,求小路ON段的建造費(fèi)用;
(2)設(shè)∠BAP=,求的值,使得小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用最小,并求岀最小建造總費(fèi)用(精確到元).
【答案】(1) 小路ON段的建造費(fèi)用為3萬元.
(2) 當(dāng)時(shí),小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用約為元.
【解析】
(1) 在△ 中,,,∠,利用余弦定理可求解長(zhǎng)度,結(jié)合即可求解;
(2)在△ 中,,∠,,,利用正弦定理可求,結(jié)合,可建立關(guān)于的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)即可判斷最值.
(1)由為中點(diǎn),得 ,在△ 中,∠,由余弦定理可得,,解得或-3(舍去),又,所以,故小路ON段的建造費(fèi)用為3萬元.
(2)在△ 中,∠,,由正弦定理可得,,即, ,故小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用為
,
則,令,得,,令,得,,故當(dāng)時(shí),小路AO段與ON段的建造總費(fèi)用最小,由,得,故最小費(fèi)用為元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)試問是否存在,使得對(duì)恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知橢圓的離心率為,以橢圓的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)).當(dāng)時(shí),求的最大值.
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【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形, ,平面平面
在棱上運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)在何處時(shí), 平面;
(2)已知為的中點(diǎn), 與交于點(diǎn),當(dāng)平面時(shí),求三棱錐的體積.
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【題目】已知F為橢圓C:的左焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線,,直線與C交于A,B兩點(diǎn),直線與C交于D,E兩點(diǎn),則四邊形ADBE的面積最小值為( )
A.4B.C.D.
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【題目】如圖,已知圓:,點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在兩點(diǎn)之間).是否存在直線使得?若存在,求直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方體中,點(diǎn)E,F分別是棱上的動(dòng)點(diǎn),且.當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí),記二面角、、平面角分別為,,,則( )
A.B.C.D.
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【題目】下列判斷正確的是( )
A.“”是“”的充分不必要條件
B.函數(shù)的最小值為2
C.當(dāng)時(shí),命題“若,則”為真命題
D.命題“,”的否定是“,”
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