已知點(diǎn)P與定點(diǎn)F的距離和它到定直線l: 的距離之比是1 : 2.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C方程;

(2)過點(diǎn)F的直線交曲線C于A, B兩點(diǎn), A, B在l上的射影分別為M, N.

求證AN與BM的公共點(diǎn)在x軸上.

（1）（2）見解析


解析:

(1) 如圖(1) 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,

則由題設(shè)得:,

化簡得: ,

   即即.

   ∴點(diǎn)P的軌跡C的方程是.

(2) ①當(dāng)AB軸時, A、B的坐標(biāo)分別為, ,

AN與BM的交點(diǎn)為在x軸上.

②當(dāng)AB不垂直于x軸時,設(shè)直線AB的方程為,

代入橢圓,得

設(shè), , 則, ,

且 ∵直線AN方程是,

 直線BM方程是.

聯(lián)列, 得, 消去y, 得: .

即 即,

把代入直線AN的方程

得

 ∴AN與BM交于點(diǎn)是x軸上一定點(diǎn).

(2) 解法二: 如圖(2) 當(dāng)AB不垂直于x軸時,

設(shè)AF＝n, 則AM＝2n, 設(shè)BF＝m, 則BN＝2m,

在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH1∥BN,

∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH1

∴

同理可推, ∴

,

∴,∴H與H1重合，∴AN與BM交點(diǎn)是x軸上一定點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動點(diǎn)P到直線l：x=--
4
3
3
的距離d1，是到定點(diǎn)F（-
3
，0）的距離d2的
2
3
3
倍．
（1） 求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2） 若直線m：y=k（x+1）（k≠o）與點(diǎn)P的軌跡有兩個交點(diǎn)A、B，求弦AB的中垂線n在y軸上的截距y0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

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（1） 求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2） 若直線m：y=k（x+1）（k≠o）與點(diǎn)P的軌跡有兩個交點(diǎn)A、B，求弦AB的中垂線n在y軸上的截距y0的取值范圍．

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已知動點(diǎn)P到直線l：x=-的距離d1，是到定點(diǎn)F（-）的距離d2的倍．
（1） 求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2） 若直線m：y=k（x+1）（k≠o）與點(diǎn)P的軌跡有兩個交點(diǎn)A、B，求弦AB的中垂線n在y軸上的截距y的取值范圍．

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已知動點(diǎn)P到直線l：x=-的距離d1，是到定點(diǎn)F（-）的距離d2的倍．
（1） 求動點(diǎn)P的軌跡方程；
（2） 若直線m：y=k（x+1）（k≠o）與點(diǎn)P的軌跡有兩個交點(diǎn)A、B，求弦AB的中垂線n在y軸上的截距y的取值范圍．

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