【題目】已知集合P={x∈R|x2-3x+b=0},Q={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}.
(1)若b=4,存在集合M使得PMQ;
(2)若PQ,求b的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析(2)(,+∞)
【解析】
(1)由于集合Q={-1,1,-4},當b=4時,集合P=,再由 PMQ可得,M是Q的非空子集,從而得到M.
(2)當P=,△=9-4b<0時,有.當P≠,方程x2-3x+b=0有實數(shù)根,且實數(shù)根是-1,1,-4中的數(shù),把x=-1,1,-4代入檢驗,由此得到實數(shù)b的取值范圍.
解:(1)∵集合Q={x|(x+1)(x2+3x-4)=0}={x|(x+1)(x+4)(x-1)=0}={-1,1,-4},
當b=4時,集合P=,再由P MQ可得,M是Q的非空子集.
共有23-1=7 個,分別為{-1}、{1}、{-4}、{-1,1}、{-1,4}、{1,4}、{-1,1,-4}.
(2)∵PQ,對于方程x2-3x+b=0,
當P=,△=9-4b<0時,有b>,
△=9-4b≥0時,P≠,方程x2-3x+b=0有實數(shù)根,且實數(shù)根是-1,1,-4中的數(shù).
若-1是方程x2-3x+b=0的實數(shù)根,則有b=-4,此時P={-1,4},不滿足PQ,故舍去.
若1是方程x2-3x+b=0的實數(shù)根,則有b=2,此時P={1,2},不滿足PQ,故舍去.
若-4是方程x2-3x+b=0的實數(shù)根,則有b=2,此時P={-1,4},不滿足PQ,故舍去.
綜上可得,實數(shù)b的取值范圍為(,+∞).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的焦點坐標是F1(﹣1,0)、F2(1,0),過點F2垂直于長軸的直線l交橢圓C于B、D兩點,且|BD|=3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過定點P(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于不同兩點M,N,試判斷:在x軸上是否存在點A(m,0),使得以AM,AN為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,求出實數(shù)m的取值范圍,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知公比小于1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a1= 且13a2=3S3(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=nan , 求數(shù)列{bn}的前項n和Tn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖, 為坐標原點,橢圓 的左右焦點分別為,離心率為;雙曲線 的左右焦點分別為,離心率為,已知,且.
(1)求的方程;
(2)過點作的不垂直于軸的弦, 為的中點,當直線與交于兩點時,求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩個班級共有105名學生,某次數(shù)學考試按照“大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀”的原則統(tǒng)計成績后,得到如下列聯(lián)表。
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
總計 | 105 |
已知從甲、乙兩個班級中隨機抽取1名學生,其成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為.
(1)請完成上面的列聯(lián)表;
(2)能否有把握認為成績與班級有關系?
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【題目】已知點 在橢圓 上,過橢圓C的右焦點F且垂直于橢圓長軸的弦長為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若MN是過橢圓C的右焦點F的動弦(非長軸),點T為橢圓C的左頂點,記直線TM,TN的斜率分別為k1 , k2 . 問k1k2是否為定值?若為定值,請求出定值;若不為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】響應“文化強國建設”號召,某市把社區(qū)圖書閱覽室建設增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求,隨機抽取市民200人做調(diào)查,統(tǒng)計顯示,男士喜歡閱讀古典文學的有64人,不喜歡的有56人;女士喜歡閱讀古典文學的有36人,不喜歡的有44人.
(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認為喜歡閱讀古典文學與性別有關系?
(2)為引導市民積極參與閱讀,有關部門牽頭舉辦市讀書交流會,從這200人中篩選出5名男代表和4名代表,其中有3名男代表和2名女代表喜歡古典文學.現(xiàn)從這9名代表中任選3名男代表和2名女代表參加交流會,記為參加交流會的5人中喜歡古典文學的人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
附:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體的棱長為1,線段上有兩個動點,且,則下列結論中正確的是__________.
①平面;
②平面平面;
③三棱錐的體積為定值;
④存在某個位置使得異面直線與成角.
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