Question

【題目】如圖：邊長為的菱形，，將沿折起到圖中的位置，使得二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積等于_______．

Answer 1

【答案】.

【解析】

由題意取BD中點M，則∠DAB=60°為二面角P﹣BD﹣C的平面角，△PMC是邊長為3的正三角形，E，F(xiàn)分別為PM，CM靠近M的三等分點，作EO⊥面PBD，F(xiàn)O⊥面BCD，則O為外接球球心．利用球心到各頂點距離相等構(gòu)造直角三角形求解外接球的半徑R，可得答案．

由題意，如圖：取BD中點M，

則∠DAB=60°為二面角P﹣BD﹣C的平面角，

△PMC是邊長為3的正三角形，E，F(xiàn)分別為PM，CM靠近M的三等分點，

作EO⊥面PBD，F(xiàn)O⊥面BCD，則O為外接球球心．

∵MF=1，PMC=60°，連接OC，OM，可得∠OMC=30°，

∴OF=MO

∴OF=

∵FC=2

∴R2=OF2+FC2=

三棱錐P﹣BCD的外接球表面積S=4πR2=

故答案為：．