若數(shù)列{an}對于任意的正整數(shù)n滿足:an>0且anan+1=n+1,則稱數(shù)列{an}為“積增數(shù)列”.已知“積增數(shù)列”{an}中,a1=1,數(shù)列{an2+an+12}的前n項和為Sn,則對于任意的正整數(shù)n,有( )
A.Sn≤2n2+3
B.Sn≥n2+4n
C.Sn≤n2+4n
D.Sn≥n2+3n
【答案】分析:利用基本不等式判斷出an2+an+12≥2anan+1,利用等差數(shù)列的前n項和求出數(shù)列{anan+1}的前n項和;據(jù)項大和就大,判斷出數(shù)列{an2+an+12}的前n項和的范圍.
解答:解:∵an>0
∴an2+an+12≥2anan+1
∵anan+1=n+1
∴{anan+1}的前n項和為2+3+4+…+n+1=
∴數(shù)列{an2+an+12}的前n項和為
故選D
點評:利用基本不等式的性質(zhì)時,一定要注意使用的條件:兩個變量必須是正的.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知有窮數(shù)列A:a1,a2,…,an,(n≥2).若數(shù)列A中各項都是集合{x|-1<x<1}的元素,則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列A,定義如下操作過程T:從A中任取兩項ai,aj,將
ai+aj
1+aiaj
的值添在A的最后,然后刪除ai,aj,這樣得到一個n-1項的新數(shù)列A1(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列).若A1還是數(shù)列,可繼續(xù)實施操作過程T,得到的新數(shù)列記作A2,…,如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作Ak
(Ⅰ)設(shè)A:0,
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2
1
3
…請寫出A1的所有可能的結(jié)果;
(Ⅱ)求證:對于一個n項的數(shù)列A操作T總可以進(jìn)行n-1次;
(Ⅲ)設(shè)A:-
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7
,-
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,-
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,-
1
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5
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,
1
2
,
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,
1
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1
5
,
1
6
…求A9的可能結(jié)果,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)平面xOy上的一列點A1(1,a1),A2(2,a2),…,An(n,an),…,簡記為{An}.若由bn=
AnAn+1
j
構(gòu)成的數(shù)列{bn}滿足bn+1<bn,n=1,2,…,其中
j
為方向與y軸正方向相同的單位向量,則稱{An}為T點列.
(1)判斷A1(1,-1),A2(2,-
1
2
)
,A3(3,-
1
4
)
,…,An(n,-
1
2n-1
)
,…,是否為T點列,并說明理由;
(2)若{An}為T點列,且點A2在點A1的右下方,證明任取其中連續(xù)三點Ak、Ak+1、Ak+2,一定能構(gòu)成鈍角三角形;
(3)若{An}為T點列,且對于任意n∈N*,都有bn>0,那么數(shù)列{an}是否一定存在極限?若是,請說明理由;若不是,請舉例說明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•徐匯區(qū)一模)對于數(shù)列{xn},從中選取若干項,不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序,得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列.某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個概念之后,打算研究首項為a1,公差為d的無窮等差數(shù)列{an}的子數(shù)列問題,為此,他取了其中第一項a1,第三項a3和第五項a5
(1)若a1,a3,a5成等比數(shù)列,求d的值;
(2)在a1=1,d=3 的無窮等差數(shù)列{an}中,是否存在無窮子數(shù)列{bn},使得數(shù)列(bn)為等比數(shù)列?若存在,請給出數(shù)列{bn}的通項公式并證明;若不存在,說明理由;
(3)他在研究過程中猜想了一個命題:“對于首項為正整數(shù)a,公比為正整數(shù)q(q>1)的無窮等比數(shù)列{cn},總可以找到一個子數(shù)列{bn},使得{dn}構(gòu)成等差數(shù)列”.于是,他在數(shù)列{cn}中任取三項ck,cm,cn(k<m<n),由ck+cn與2cm的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確.他將得到什么結(jié)論?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•徐匯區(qū)一模)對于數(shù)列{xn},從中選取若干項,不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序,得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列.某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個概念之后,打算研究首項為正整數(shù)a,公比為正整數(shù)q(q>0)的無窮等比數(shù)列{an}的子數(shù)列問題.為此,他任取了其中三項ak,am,an(k<m<n).
(1)若ak,am,an(k<m<n)成等比數(shù)列,求k,m,n之間滿足的等量關(guān)系;
(2)他猜想:“在上述數(shù)列{an}中存在一個子數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”,為此,他研究了ak+an與2am的大小關(guān)系,請你根據(jù)該同學(xué)的研究結(jié)果來判斷上述猜想是否正確;
(3)他又想:在首項為正整數(shù)a,公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列中是否存在成等比數(shù)列的子數(shù)列?請你就此問題寫出一個正確命題,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:北京模擬題 題型:解答題

已知有窮數(shù)列A:a1,a2,…,an,(n≥2),若數(shù)列A中各項都是集合{x|-1<x<1}的元素,則稱該數(shù)列為Γ數(shù)列。對于Γ數(shù)列A,定義如下操作過程T:從A中任取兩項ai,aj,將的值添在A的最后,然后刪除ai,aj,這樣得到一個n-1項的新數(shù)列A1(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列)。若A1還是Γ數(shù)列,可繼續(xù)實施操作過程T,得到的新數(shù)列記作A2,…,如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作Ak,
(Ⅰ)設(shè)A:0,,請寫出A1的所有可能的結(jié)果;
(Ⅱ)求證:對于一個n項的Γ數(shù)列A操作T總可以進(jìn)行n-1次;
(Ⅲ)設(shè)A:,求A9的可能結(jié)果,并說明理由.

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