已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證: 直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（Ⅱ）直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為

解析試題分析：（Ⅰ）因為橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為.在橢圓中，可求，再根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為求得.
（Ⅱ）聯(lián)立直線l與橢圓方程得的一元二次方程，因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），所以,故,可得的關(guān)系式，再由點(diǎn)斜式的直線方程寫出直線l過定點(diǎn)，注意檢驗.
試題解析：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由已知得：

（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立
得，則

又，
因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），

當(dāng)，直線過定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；
當(dāng)
所以，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓的位置關(guān)系；3、韋達(dá)定理；4、直線的點(diǎn)斜式方程；5、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓錐曲線的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且離心率為；
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線表示曲線的軸左邊部分，若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點(diǎn)為，，且經(jīng)過點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，問在橢圓上是否存在一點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線與
拋物線交于不同兩點(diǎn)
（1）求證:·為常數(shù)；
（2）求滿足的點(diǎn)的軌跡方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線y2=－x與直線y=k(x+1)交于A、B兩點(diǎn).
（1）求證：OA⊥OB；
（2）當(dāng)DAOB的面積等于時，求k的值. 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線的斜率依次成等比數(shù)列，
求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

曲線在矩陣的變換作用下得到曲線．
（Ⅰ）求矩陣；
（Ⅱ）求矩陣的特征值及對應(yīng)的一個特征向量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，點(diǎn)分別是橢圓C:的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓的上半部分于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn).

（1）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,4），求橢圓的方程；
（2）試判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦瞇分別為F1，F(xiàn)2，且｜F1F2｜＝2，點(diǎn)P（1，）在橢圓C上.
（I）求橢圓C的方程；
（II）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，求直線l的方程.

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