【題目】已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),g(x)是反比例函數(shù),且滿足f[f(x)]=x+2,g(1)=﹣1
(1)求函數(shù)f(x)和g(x);
(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),判斷函數(shù)h(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并用定義加以證明.
【答案】
(1)解:因為f(x)是一次函數(shù),g(x)是反比例函數(shù)
∴設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),g(x)= (k≠0),
∵f[f(x)]=x+2,
∴a(ax+b)+b=x+2,
∴a2x+(a+1)b=x+2,
∴ ,解得:a=1,b=1,
故f(x)=x+1;
∵g(1)=﹣1,故k=﹣1,
故g(x)=﹣
(2)解:判斷:函數(shù)h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
由(1)知h(x)= +1,設(shè)x1,x2是(0,+∞)上的任意兩個實數(shù),且x1<x2,
h(x1)﹣h(x2)=(x1﹣ )﹣(x2﹣ )=(x1﹣x2)(1+ ),
∵0<x1<x2,∴x1﹣x2<0,x1x2>0,
∴h(x1)﹣h(x2)<0,即h(x1)<h(x2),
∴函數(shù)h(x)在(0,+∞)遞增
【解析】(1)設(shè)出函數(shù)的解析式,通過待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式即可;(2)求出h(x)的解析式,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識點,需要掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,半徑為1,圓心角為 的圓弧 上有一點C.
(1)若C為圓弧AB的中點,點D在線段OA上運動,求| + |的最小值;
(2)若D,E分別為線段OA,OB的中點,當C在圓弧 上運動時,求 的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)y=f(x)對任意的x∈(﹣ , )滿足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)),則下列不等式成立的是( )
A. f(﹣ )<f(﹣ )
B. f( )<f( )??
C.f(0)>2f( )
D.f(0)> f( )
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【題目】某同學在獨立完成課本上的例題:“求證: + <2 ”后,又進行了探究,發(fā)現(xiàn)下面的不等式均成立. + <2
+ <2
+ <2
+ <2 ,
+ ≤2 .
(1)請根據(jù)上述不等式歸納出一個一般性的不等式;(用字母表示)
(2)請用合適的方法證明你寫出的不等式成立.
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【題目】已知向量m=(3sinx,cosx),n=(-cosx, cosx),f(x)=m·n-.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時x的值;
(2)若方程f(x)=a在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】定義在[﹣1,1]的函數(shù)f(x)滿足下列兩個條件:①任意的x∈[﹣1,1],都有f(﹣x)=﹣f(x);②任意的m,n∈[0,1],當m≠n,都有 <0,則不等式f(1﹣3x)<f(x﹣1)的解集是( )
A.[0, )
B.( , ]
C.[﹣1, )
D.[ ,1]
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【題目】設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx的極小值為﹣8,其導函數(shù)y=f′(x)的圖象經(jīng)過點 ,如圖所示,
(1)求f(x)的解析式;
(2)若對x∈[﹣3,3]都有f(x)≥m2﹣14m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1 , x2(x1≠x2)有如下結(jié)論
1)f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
2)f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
3) >0
4)f( )<
5)f( )>
6)f(﹣x)=f(x).
當f(x)=lgx時,上述結(jié)論正確的序號為 . (注:把你認為正確的命題的序號都填上).
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