Question

已知直線y=-x+1與橢圓=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求橢圓方程；
（2）在（1）的條件下，求線段AB的長；
（3）若橢圓的離心率，向量與向量互相垂直（其中O為坐標原點），求橢圓的長軸的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率為，焦距為2，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理結合弦長公式，可求線段AB的長；
（3）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合橢圓的離心率，向量與向量互相垂直，即可求得橢圓的長軸的取值范圍．
解答：解：（1）∵，∴
∴橢圓的方程為…（3分）
（2）聯立消去y得：5x²-6x-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則
∴…（8分）
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵，∴
由消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0整理得a²+b²＞1（*）
又，，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴整理得：a²+b²-2a²b²=0
∴b²=a²-c²=a²-a²e²
代入上式得∴
∵
∴滿足（*）式，
∴…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．