(2012•鹽城三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)A(-2,-1)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F,短軸端點(diǎn)為B1、B2,
FB1
FB2
=2b2

(1)求a、b的值;
(2)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q,與y軸的交點(diǎn)為R.過原點(diǎn)O且平行于l的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P.若AQ•AR=3OP2,求直線l的方程.
分析:(1)利用
FB1
FB2
=2b2
,可得c2-b2=2b2,根據(jù)橢圓過點(diǎn)A(-2,-1),可得
4
a2
+
1
b2
=1
,由此可求a、b的值;
(2)設(shè)直線l的方程代入橢圓方程,求出Q的橫坐標(biāo);直線OP的方程代入橢圓方程,求出P的橫坐標(biāo),利用AQ•AR=3OP2,建立方程,即可求得直線l的方程.
解答:解:(1)由題意,F(xiàn)(-c,0),B1(0,-b),B2(0,b),則
FB1
=(c,-b),
FB2
=(c,b)

FB1
FB2
=2b2

∴c2-b2=2b2
∵橢圓過點(diǎn)A(-2,-1)
4
a2
+
1
b2
=1

由①②解得a2=8,b2=2
a=2
2
,b=
2
;
(2)由題意,設(shè)直線l的方程為y+1=k(x+2),代入橢圓方程可得(x+2)[(4k2+1)(x+2)-(8k+4)]=0
∵x+2≠0,∴x+2=
8k+4
4k2+1
,∴xQ+2=
8k+4
4k2+1

由題意,直線OP的方程為y=kx,代入橢圓方程可得(4k2+1)x2=8
xP2=
8
4k2+1

∵AQ•AR=3OP2,
|xQ-(-2)|×|0-(-2)|=3xP2
|
8k+4
4k2+1
|×2=3×
8
4k2+1

∴k=1或k=-2
當(dāng)k=1時(shí),直線l的方程為x-y+1=0;當(dāng)k=-2時(shí),直線l的方程為2x+y+5=0
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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CP
=7
CA
+3
CB
,則
CP
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=
-2
-2

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AE
=
AC
,DE交AB于點(diǎn)F.求證:PF•PO=PA•PB.

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解不等式:|x-1|>
2x

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