【題目】已知函數(shù) 的定義域為R.
(Ⅰ)求實數(shù)m的范圍;
(Ⅱ)若m的最大值為n,當正數(shù)a,b滿足 時,求4a+7b的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)∵函數(shù)的定義域為R,|x+2|+|x﹣4|≥|(x+2)﹣(x﹣4)|=6,∴m≤6. (Ⅱ)由(Ⅰ)知n=6,由柯西不等式知,4a+7b= = ,當且僅當 時取等號,∴4a+7b的最小值為
【解析】(I)利用絕對值不等式的性質即可得出.(II)利用柯西不等式的性質即可得出.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關知識,掌握求函數(shù)的定義域時,一般遵循以下原則:①是整式時,定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時,定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時,定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時,底數(shù)須大于零且不等于1,零(負)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零,以及對絕對值不等式的解法的理解,了解含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關鍵是去掉絕對值的符號.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個焦點是, ,且橢圓經過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過左焦點且傾斜角為45°的直線與橢圓交于兩點,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標,某農科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花,為了評價該品種的棉花質量,在棉花成熟后,分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取20根棉花纖維進行統(tǒng)計,結果如下表:(記纖維長度不低于300mm的為“長纖維”,其余為“短纖維”)
纖維長度 | (0,100) | [100,200) | [200,300) | [300,400) | [400,500] |
甲地(根數(shù)) | 3 | 4 | 4 | 5 | 4 |
乙地(根數(shù)) | 1 | 1 | 2 | 10 | 6 |
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù),填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.025的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關系”.
甲地 | 乙地 | 總計 | |
長纖維 | |||
短纖維 | |||
總計 |
附:(1) ;(2)臨界值表;
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)現(xiàn)從上述40根纖維中,按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測,在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0(m∈R).
(1)判斷直線l與圓C的位置關系;
(2)設直線l與圓C交于A,B兩點,若直線l的傾斜角為120°,求弦AB的長.
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【題目】過動點P作圓:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的切線PQ,其中Q為切點,若|PQ|=|PO|(O為坐標原點),則|PQ|的最小值是 .
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【題目】設是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, .
(1)求的通項公式;
(2)設是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前n項和.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形,側面PAD是邊長為2的正三角形,AB=BD= ,PB=
(Ⅰ)求證:平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設Q是棱PC上的點,當PA∥平面BDQ時,求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值.
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【題目】春節(jié)期間,受煙花爆竹集中燃放影響,我國多數(shù)城市空氣中PM2.5濃度快速上升,特別是在大氣擴散條件不利的情況下,空氣質量在短時間內會迅速惡化.2017年除夕18時和初一2時,國家環(huán)保部門對8個城市空氣中PM2.5濃度監(jiān)測的數(shù)據(jù)如表(單位:微克/立方米).
除夕18時PM2.5濃度 | 初一2時PM2.5濃度 | |
北京 | 75 | 647 |
天津 | 66 | 400 |
石家莊 | 89 | 375 |
廊坊 | 102 | 399 |
太原 | 46 | 115 |
上海 | 16 | 17 |
南京 | 35 | 44 |
杭州 | 131 | 39 |
(Ⅰ)求這8個城市除夕18時空氣中PM2.5濃度的平均值;
(Ⅱ)環(huán)保部門發(fā)現(xiàn):除夕18時到初一2時空氣中PM2.5濃度上升不超過100的城市都是“禁止燃放煙花爆竹“的城市,濃度上升超過100的城市都未禁止燃放煙花爆竹.從以上8個城市中隨機選取3個城市組織專家進行調研,記選到“禁止燃放煙花爆竹”的城市個數(shù)為X,求隨機變量y的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅲ)記2017年除夕18時和初一2時以上8個城市空氣中PM2.5濃度的方差分別為s12和s22 , 比較s12和s22的大小關系(只需寫出結果).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)學名著《算學啟蒙》中有如下問題:“松長五尺,竹長兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長等.”如圖是源于其思想的一個程序框圖,若輸入的a,b的值分別為16,4,則輸出的n的值為( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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