定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件:
①在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù);
②是偶函數(shù);
③在x=0處的切線與直線y=x+2垂直.
(1)求函數(shù)=的解析式;
(2)設g(x)=,若存在實數(shù)x∈[1,e],使<,求實數(shù)m的取值范圍..
(1);(2).
解析試題分析:(1)利用已知條件可知f′(x)=3ax2+2bx+c中b=0,且f′(1)=3a+2b+c=0,另外根據(jù)條件③知f′(0)=c=-1,從而能夠求出a,b,c的值;(2)對于恒成立求參數(shù)m的取值范圍,可以利用分離參數(shù)法,得到m>xlnx-x3+x,構(gòu)造函數(shù)M(x)=xlnx-x3+x,通過兩次求導,得到M(x)在[1,e]上遞減,且M(x)的最小值為2e-e3,故m>2e-e3.
試題解析:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c,∵f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴f′(1)=3a+2b+c=0①
由f′(x)是偶函數(shù)得:b=0②
又f(x)在x=0處的切線與直線y=x+2垂直,f′(0)=c=-1③
由①②③得:a=,b=0,c=-1,即f(x)=x3-x+3.
(2)由已知得:存在實數(shù)x∈[1,e],使lnx-<x2-1
即存在x∈[1,e],使m>xlnx-x3+x
設M(x)=xlnx-x3+x x∈[1,e],則M′(x)=lnx-3x2+2
設H(x)=lnx-3x2+2,則H′(x)=-6x=
∵x∈[1,e],∴H′(x)<0,即H(x)在[1,e]上遞減
于是,H(x)≤H(1),即H(x)≤-1<0,即M′(x)<0
∴M(x)在[1,e]上遞減,∴M(x)≥M(e)=2e-e3
于是有m>2e-e3為所求.
考點:1.函數(shù)的奇偶性與利用導函數(shù)求最值;2.恒成立求參數(shù)取值范圍問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知冪函數(shù)()在是單調(diào)減函數(shù),且為偶函數(shù).
(1)求的解析式;
(2)討論的奇偶性,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)和的圖像關于原點對稱,且.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)解不等式;
(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)()
(1)求的定義域;
(2)問是否存在實數(shù)、,當時,的值域為,且 若存在,求出、的值,若不存在,說明理由.
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