【題目】如圖,橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,雙曲線以A、B為頂點(diǎn),焦距為,點(diǎn)P是上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)Q,線段AQ的中點(diǎn)為M,記直線AP的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍;
(3)是否存在定直線使得直線BP與直線OM關(guān)于直線對(duì)稱?若存在,求直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在直線滿足題意,詳見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)題意,得到,即可求得雙曲線的方程;
(2)由在上單調(diào)遞增,即可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍;
(3)求出,可得直線與關(guān)于直線對(duì)稱,即可求解.
(1)由題意,橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,雙曲線以A、B為頂點(diǎn),焦距為,可得,所以,
所以雙曲線的方程.
(2)由題意,設(shè),
直線的方程為,
代入橢圓方程,整理,
所以或,所以,
所以在上單調(diào)遞增,所以.
(3)由(1)雙曲線的方程,
可得,同理,
所以,即,
設(shè)直線,則直線,解得,
所以直線與關(guān)于直線對(duì)稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求函數(shù)的最值;
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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【題目】點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一點(diǎn),則的取值范圍是__.
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【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;
(2)若,不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù),).在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸)中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線上恰有一個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為1,求曲線的直角坐標(biāo)方程.
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【題目】已知橢圓,直線l不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且不平行與坐標(biāo)軸,l與相交于A,B兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為M.
(1)證明:直線的斜率與直線l的斜率的乘積為定值;
(2)若直線l過(guò)點(diǎn),延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)P,若四邊形是平行四邊形,求直線l的斜率;
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【題目】如果存在常數(shù)a,使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),則a-x也是數(shù)列{an}中的一項(xiàng),稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:2,3,6,m(m>6)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)是n0(n0≥3),所有項(xiàng)之和是B,求證:數(shù)列{bn}是“兌換數(shù)列”,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對(duì)于一個(gè)不少于3項(xiàng),且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.
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【題目】已知從2開(kāi)始的連續(xù)偶數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表,第一行為2,第一行為46,第三行為12,10,8,第四行為14,16,18,20.如圖所示,在寶塔形數(shù)表中位于第i行,第j列的數(shù)記為,比如,,,,若,則( )
A.65B.70C.71D.72
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