【題目】如圖,OM,ON是兩條海岸線,Q為海中一個(gè)小島,A為海岸線OM上的一個(gè)碼頭.已知,,Q到海岸線OM,ON的距離分別為3 km,km.現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個(gè)碼頭,使得在水上旅游直線AB經(jīng)過(guò)小島Q.
(1)求水上旅游線AB的長(zhǎng);
(2)若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個(gè)圓形強(qiáng)水波P,從水波生成t h時(shí)的半徑為(a為大于零的常數(shù)).強(qiáng)水波開(kāi)始生成時(shí),一游輪以km/h的速度自碼頭A開(kāi)往碼頭B,問(wèn)實(shí)數(shù)a在什么范圍取值時(shí),強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題(1)由條件建立直角坐標(biāo)系較為方便表示:,直線的方程為.由Q到海岸線ON的距離為km,得,解得,再由兩直線交點(diǎn)得,利用兩點(diǎn)間距離公式得(2)由題意是一個(gè)不等式恒成立問(wèn)題:設(shè)小時(shí)時(shí),游輪在線段上的點(diǎn)處,而不等式恒成立問(wèn)題往往利用變量分離將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題:
試題解析:(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線為軸,建立直角坐標(biāo)系如圖所示.
則由題設(shè)得:,直線的方程為.
由,及得,∴.∴直線的方程為,即, 由得即,∴,即水上旅游線的長(zhǎng)為.
(2)設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓,由題意可得P(3,9),生成小時(shí)時(shí),游輪在線段上的點(diǎn)處,則,∴.強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行即,當(dāng)時(shí) ,當(dāng).,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,在時(shí)恒成立,亦即強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若函數(shù)的極大值等于,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),如果存在實(shí)數(shù)使得,那么稱為的線性函數(shù).
(1)下面給出兩組函數(shù),判斷是否分別為的線性函數(shù)?并說(shuō)明理由;
第一組:
第二組::
(2)設(shè),線性函數(shù)為.若等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),取.線性函數(shù)圖像的最低點(diǎn)為.若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)且.試問(wèn)是否存在最大的常數(shù),使恒成立?如果存在,求出這個(gè)的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;
(2)若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,依次連接的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為40.
(1)試求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若曲線M上任意一點(diǎn)到的右焦點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等,直線經(jīng)過(guò)的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),,直線與曲線M相交于點(diǎn)P、Q(點(diǎn)P在第一象限內(nèi),點(diǎn)Q在第四象限內(nèi)),設(shè)的下頂點(diǎn)是B,上頂點(diǎn)是D,且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn=n2﹣2n+b﹣1,{bn}是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Tn,則數(shù)列{ bn +an}的前5項(xiàng)和為( 。
A.37B.-27C.77D.46
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn),現(xiàn)選擇15名志愿者,對(duì)其身高和臂展進(jìn)行測(cè)量(單位:厘米),左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖,右圖為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖,并求得其回歸方程為,以下結(jié)論中不正確的為
A. 15名志愿者身高的極差小于臂展的極差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系,
C. 可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米,
D. 身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐 中,平面,底面為菱形,且,為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)若,,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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