Question

已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，點(diǎn)F₂（1，0）是它的一個焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F₂與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時，△OAB的面積S△OAB=

2

2

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P在橢圓C上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依題意知c=1，當(dāng)直線l垂直于x軸時，A（c，y₀），代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1可求得a²=2b⁴，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）依題意，利用橢圓的定義與余弦定理可求得|PF₁|•|PF₂|=

4

3

，再利用正弦定理即可求得△F₁PF₂的面積．

解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵它的一個焦點(diǎn)F₂（1，0），即c=1，
∴a²-b²=c²=1①
當(dāng)直線l垂直于x軸時，A（c，y₀），代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1得：y02=b²（1-

c2

a2

）=

b4

a2

，
∴S_△OAB=

1

2

|OF₂|•|AB|=

1

2

×1×2|y₀|=

b2

a

=

2

2

，
∴a²=2b⁴，②
由①②解得a²=2，b²=1，
故橢圓C的方程為

x2

2

+y²=1．
（Ⅱ）依題意，作圖如圖：
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=2

2

，|F₁F₂|=2c=2，∠F₁PF₂=60°，
∴由余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂
=(2

2

)2-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
=8-3|PF₁|•|PF₂|
=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=

4

3

，
∴△F₁PF₂的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin60°
=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義與余弦定理．正弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．