【題目】在平面直角坐標系xoy中，動點M到點F（1，0）的距離與它到直線x=2的距離之比為 
．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+m（m≠0）與曲線E交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于C，D兩點（且C，D在A，B之間或同時在A，B之外）．問：是否存在定值k，對于滿足條件的任意實數(shù)m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．
【答案】
（1）解：設(shè)M（x，y），由題意可得 
= 
，
兩邊平方可得x2+y2﹣2x+1= 
（x2﹣4x+4），
即有 
+y2=1，
可得軌跡E的方程為 +y2=1；
（2）解：聯(lián)立 
，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1），
由△＞0，可得m2＜1+2k2（*），
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣ 
，
由題意可設(shè)C（﹣ 
，0），D（0，m），
△OAC的面積與△OBD的面積相等|AC|=|BD|恒成立
線段AB的中點和線段CD中點重合．
即有﹣ =﹣ ，解得k=± ，
即存在定值k=± ，對于滿足條件的m≠0，且|m|＜ 
的任意實數(shù)m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等
【解析】（1）設(shè)M（x，y），運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式，兩邊平方整理即可得到所求軌跡E的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用判別式大于0，以及韋達定理，求得C，D的坐標，由△OAC的面積與△OBD的面積相等|AC|=|BD|恒成立線段AB的中點和線段CD中點重合．運用中點坐標公式，解方程可得k的值，即可判斷存在．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,…,30這30個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生.
(1)分別求出(按程序框圖正確編程運行時)輸出y的值為i的概率Pi(i=1,2,3);
(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù),下面是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù):
甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)
運行次數(shù) | 輸出y=1 的頻數(shù) | 輸出y=2 的頻數(shù) | 輸出y=3 的頻數(shù) |
30 | 16 | 11 | 3 |
… | … | … | … |
2 000 | 967 | 783 | 250 |
乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)
運行次數(shù) | 輸出y=1 的頻數(shù) | 輸出y=2 的頻數(shù) | 輸出y=3 的頻數(shù) |
30 | 13 | 13 | 4 |
… | … | … | … |
2 000 | 998 | 803 | 199 |
當(dāng)n=2 000時,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分數(shù)表示),并判斷甲、乙中誰所編寫的程序符合算法要求的可能性較大.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，拋物線
： 
與橢圓
： 
在第一象限的交點為
， 
為坐標原點， 
為橢圓的右頂點， 
的面積為
.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）過
點作直線
交
于
、
兩點，射線
、
分別交
于
、
兩點，記
和
的面積分別為
和
，問是否存在直線
，使得
？若存在，求出直線
的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出下列命題：
①直線l的方向向量為
=（1，﹣1，2），直線m的方向向量
=（2，1，﹣
），則l與m垂直；
②直線l的方向向量
=（0，1，﹣1），平面α的法向量
=（1，﹣1，﹣1），則l⊥α；
③平面α、β的法向量分別為
=（0，1，3），
=（1，0，2），則α∥β；
④平面α經(jīng)過三點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量
=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t=1.
其中真命題的是______．（把你認為正確命題的序號都填上）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某城市城鎮(zhèn)化改革過程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
居民生活用水量（萬噸） | 236 | 246 | 257 | 276 | 286 |
（1）利用所給數(shù)據(jù)求年居民生活用水量與年份之間的回歸直線方程y=bx+a；
（2）根據(jù)改革方案，預(yù)計在2020年底城鎮(zhèn)化改革結(jié)束，到時候居民的生活用水量將趨于穩(wěn)定，預(yù)計該城市2023年的居民生活用水量．
參考公式： 
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且經(jīng)過點
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）的直線交橢圓C于A，B兩點，求△AOB（O為原點）面積的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
(1)當(dāng)
時，求滿足
的
的值；
(2)若函數(shù)
是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)
滿足
，若對任意
且≠0,不等式
恒成立，求實數(shù)m的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）試判斷f （x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）若f （x）為定義域上的奇函數(shù)，求函數(shù)f （x）的值域．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
， 
.
（1）若函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為
，求函數(shù)
的圖象在點
處的切線方程；
（2）若不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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