【題目】已知拋物線C1:y2=8x與雙曲線C2 (a>0,b>0)有公共焦點(diǎn)F2 , 點(diǎn)A是曲線C1 , C2在第一象限的交點(diǎn),且|AF2|=5.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)以雙曲線C2的另一焦點(diǎn)F1為圓心的圓M與直線y= 相切,圓N:(x﹣2)2+y2=1.過點(diǎn)P(1, )作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2 , 設(shè)l1被圓M截得的弦長(zhǎng)為s,l2被圓N截得的弦長(zhǎng)為t,問: 是否為定值?如果是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:∵拋物線 的焦點(diǎn)為F2(2,0),

∴雙曲線C2的焦點(diǎn)為F1(﹣2,0)、F2(2,0),

設(shè)A(x0,y0)在拋物線 上,且|AF2|=5,

由拋物線的定義得,x0+2=5,

∴x0=3,∴ ,∴

∴|AF1|= =7,

又∵點(diǎn)A在雙曲線C2上,由雙曲線定義得:

2a=|7﹣5|=2,∴a=1,∴雙曲線C2的方程為:


(2)解: 為定值.下面給出說(shuō)明.

設(shè)圓M的方程為:(x+1)2+y2=r2,

∵圓M與直線y= x相切,

∴圓M的半徑為r= ,

∴圓M:(x+2)2+y2=3.

當(dāng)直線j1的斜率不存在時(shí)不符合題意,

設(shè)l1的方程為y﹣ =k(x﹣1),即kx﹣y+ ﹣k=0,

設(shè)l2的方程為y﹣ =﹣ (x﹣1),即x+ky﹣ k﹣1=0,

∴點(diǎn)F1到直線l1的距離為 ,

點(diǎn)F2到直線l2的距離為

∴直線l1被圓M截得的弦長(zhǎng):

S=2 =2 ,

直線l2被圓N截得的弦長(zhǎng)t=2 =2 ,

=

= = ,

為定值


【解析】(1)由已知條件推導(dǎo)出雙曲線C2的焦點(diǎn)為F1(﹣2,0)、F2(2,0),且|AF2|=5,|AF1|=7,點(diǎn)A在雙曲線C2上,由此能求出雙曲線C2的方程.(2) 為定值.由已知條件求出設(shè)圓M的方程為M:(x+2)2+y2=3,設(shè)l1的方程為kx﹣y+ ﹣k=0,設(shè)l2的方程為x+ky﹣ k﹣1=0,由此利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式能求出證明 為定值

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-1

0

4

5

1

2

2

1

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②函數(shù)在[0,2]上是減函數(shù);

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