Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)過點，右焦點到右準(zhǔn)線和左頂點的距離相等，經(jīng)過點的直線交橢圓于點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點是直線上在橢圓外的一點，且，證明：點在定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)點在橢圓上以及右焦點到右準(zhǔn)線和左頂點的距離相等列方程組可解得;

(2)當(dāng)直線軸時,將用表示后,代入不成立, 當(dāng)直線與軸不垂直時,設(shè)出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理以及，，,代入可解得.

（1）依題意可列方程組: ,所以,

所以,所以,又,所以,解得,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

(2)證明:設(shè),

當(dāng)直線軸，則,，則，

因為在橢圓外,所以與同號,所以,所以,

又，所以不成立，故直線與軸不垂直.

當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)，

設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立消去并整理得，

，

因為，

所以，

所以，

同理可得:，.

因為點在橢圓外，所以、同號，

所以

，

由得，

，

所以,

所以,所以,

所以，所以點在定直線上.