Question

如圖在四棱錐中，底面是菱形，,底面，是的中點，是中點。

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面⊥平面；

（3）求與平面所成的角。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（2） 見解析

（3）直線BE與平面PAC所成的角為45⁰ 

【解析】往往有兩個中點時，考慮中位線，當兩中點不能構(gòu)成中位線時，考慮構(gòu)造另一個中點，組成兩對中位線�！� PA⊥平面ABCD 則PA⊥平面ABCD內(nèi)所有的直線，∴ DF⊥PA，再結(jié)合四邊形ABCD是菱形，找到另一垂直條件。

（1）取PD中點為M，連ME，MF  ∵ E是PC的中點 

∴ ME是△PCD的中位線∴ MECD   ∵ F是AB中點且由于ABCD是菱形，ABCD

∴ MEFB   ∴ 四邊形MEBF是平行四邊形  …………2分

∴ BE∥MF   …………………3分

∵ BE平面PDF ,MF平面PDF  ∴ BE∥平面PDF  ………4分

（2）  ∵ PA⊥平面ABCD  DF平面ABCD   ∴ DF⊥PA……………5分

∵ 底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰  ∴ △DAB為正△

∵ F是AB中點  ∴ DF⊥AB   ……………6分

∵ PA、AB是平面PAB內(nèi)的兩條相交直線  ∴ DF⊥平面PAB  ………7分

∵ DF平面PDF  ∴ 平面PDF⊥平面PAB  ………………8分

（3）連BD交AC與O、連EO   ∵ 底面ABCD是菱形 ∴ BO⊥AC

∵ PA⊥平面ABCD  BO平面ABCD   ∴ BO⊥PA

∵ PA、AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線  ∴ BO⊥平面PAC  …………9分

∴ EO是BE在平面PAC內(nèi)的射影 

∴ ∠BEO是BE與平面PAC所成的角  ………………10分

∵ O是AC、BD的中點  ∴ BO=1，EO是△PAC的中位線 ∴ EO=PA=1

∴ 在直角△BEO中，tan∠BEO==1 ∴ ∠BEO=45⁰

∴ 直線BE與平面PAC所成的角為45⁰