設(shè)m＞2，給定數(shù)列{x n }，其中x 1=m，xn+1=（n∈N+），求證：x n＞2且．
【答案】分析：x n＞2且等價于證明2＜xn+1＜xn．結(jié)合題設(shè)條件x 1=m＞2，xn+1=（n∈N+），利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解答：解：x n＞2且等價于證明2＜xn+1＜xn．
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)n=1時，
∵=，
==2+，x1=m＞2，
∴2＜x2＜x1．
結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），
則=＞xk+1，
=2+＞2．
∴2＜xk+2＜xk+1，
綜上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．
∴x n＞2且．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a為實常數(shù)），前n項和Sn恒為正值，且當(dāng)n≥2時，
1
Sn
=
1
an
-
1
an+1
．
（1）求證：數(shù)列Sn是等比數(shù)列；
（2）設(shè)an與an+2的等差中項為A，比較A與an+1的大�。�
（3）設(shè)m是給定的正整數(shù)，a=2．現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項數(shù)為2m有窮數(shù)列bn：當(dāng)k=m+1，m+2，…，2m時，bk=ak•ak+1；當(dāng)k=1，2，…，m時，bk=b2m-k+1．求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn（n≤2m，n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、設(shè)M=2t+it-1×2t-1+…+i1×2+i0，其中ik=0或1（k=0，1，2，…，t-1，t∈N+），并記M=（1it-1it-2…i1i0）2．對于給定的
x1=（1it-1it-2…i1i0）2，構(gòu)造無窮數(shù)列{xn}如下：x2=（1i0it-1it-2…i2i1）2，x3=（1i1i0it-1…i3i2），x4=（1i2i1i0it-1…i3）2…，
（1）若x1=109，則x3=
91
 （用數(shù)字作答）；
（2）給定一個正整數(shù)m，若x1=22m+2+22m+1+22m+1，則滿足xn=x1（n∈N+且n≠1）的n的最小值為
2m+3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

14、設(shè)M=2t+it-1×2t-1+…+i1×2+i0，其中ik=0或1（k=0，1，2，…，t-1，t∈N+），并記M=（1it-1it-2…i1i0）2，對于給定的x1=（1it-1it-2…i1i0）2，構(gòu)造數(shù)列{xn}如下：x2=（1i0it-1it-2…i2i1）2x3=（1i1i0it-1it-2…i3i2）2，x4=（1i2i1i0it-1it-2…i4i3）2…，若x1=27，則x4=
23
（用數(shù)字作答）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m＞2，給定數(shù)列{x n }，其中x 1=m，xn+1=
xn2
2(xn-1)
（n∈N+），求證：x n＞2且
xn+1
xn
＜1．

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