Question

如圖，已知放在同一平面上的兩個正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)棱長都相等．若AB=6，二面角P-BD-S的余弦值為

1

3

．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求多面體SPABC的體積..

Answer 1

分析：（I）設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為O，連接OP、OS．先用等腰三角形PBD與等腰三角形SBD證明出PO、SO都與BO垂直，∠POS為二面角P-BD-S的平面角，然后在菱形ABCD中求出P、S在底面的射影的距離等于
2

3

，從而PS=2

3

，在等腰三角形PSO中利用余弦定理結(jié)合二面角P-BD-S的余弦值為

1

3

計算出PO長，再在Rt三角形POB中求出PB長，得到△PBD、△PBA都是等腰直角三角形，從而結(jié)合線面垂直的判定得到PB⊥平面PAD；
（II）根據(jù)（I）的數(shù)據(jù)不難計算出正三棱錐P-ABD的高PN=

6

，從而得到正三棱錐P-ABD的體積為9

2

，最終可得多面體SPABC的體積．

解答：解：（Ⅰ）分別作出兩個正三棱錐的高PN、SM，連接AC交BD于O，連接OP、OS
∵△ADB與△BCD都是正三角形
∴四邊形ABCD是菱形且∠BCD=60°，可得AC、DB互相垂直平分
∵△PBD中，PB=PD，O為BD中點(diǎn)
∴PO⊥BD，
同理，SO⊥BD，可得∠POS為二面角P-BD-S的平面角
∵ON=

1

3

OA，OM=

1

3

OC∴MN=

1

3

AC
∵四邊形ABCD是菱形且∠BCD=60°，
∴AC=

3

AB=6

3

⇒MN=

1

3

AC=2

3

∵正三棱錐P-ABD、S-BCD是兩個全等的三棱錐
∴兩條高PN、SM平行且相等
可得四邊形PSMN是矩形，所以PS=MN=2

3

∵兩個正三棱錐的側(cè)棱長都相等
∴等腰三角形OPS中，根據(jù)余弦定理得：cos∠POS=

OP2+OS2-PS2

2•OP•OS

=

1

3

可得OP=OS=3
∵Rt△POB中，OB=

1

2

AB=3
∴PB=

OB2+OP2

=3

2

在△PDB中，PB²+PD²=36=BD²
∴∠BPD=90°⇒BP⊥PD
同理可得：BP⊥PA，結(jié)合PA∩PD=P
∴PB⊥平面PAD
（Ⅱ）由（I）得PA=PB=3

2

，AN=

1

3

AC=2

3

，
∴Rt△PAN中，高PN=

PA 2-AN2

=

6

因此，正三棱錐P-ABD的體積V=

1

3

S △ABD•PN=

1

3

×

3

4

AB2×

6

=9

2

∴多面體SPABC的體積為V₁=2×18

3

=18

2

點(diǎn)評：本題是一道立體幾何的綜合題，著重考查了組合幾何體的面積、體積問題直線與平面垂直的判定等知識點(diǎn)，屬于中檔題．