Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=6，an+1=

n+2

n

an+(n+1)(n+2)，
（1）求a₂，a₃；
（2）若dn=

an

n(n+1)

，求數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若a_n=kC³_n+2，（其中C_n^m表示組合數(shù)），求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用遞推公式可求a₂，a₃
（2）由已知遞推關(guān)系構(gòu)造新的等差數(shù)列{d_n，求出數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式
（3）先求出a_n，及k的值，然后代入S_n=a₁+a₂+…+a_n=6（C₃³+C₄³+…+C_n+2³）

解答：解：（1）a₂=24，a₃=60（4分）
（2）an+1=

n+2

n

an+(n+1)(n+2)
兩邊同時(shí)除以（n+1）（n+2）可得

an+1

(n+2)(n+1)

=

an

n(n+1)

+1
d_n+1-d_n=1（3分）
所以{d_n}是等差數(shù)列，且d1=

a1

1•2

=3，
所以d_n=3+（n-1）=n+2（3分）
（3）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2）（1分）
a_n=kC³_n+2=k•

n(n+1)(n+2)

6

，k=6（2分）
即：a_n=n（n+1）（n+2）=6C_n+2³（1分）
所以，S_n=a₁+a₂+…+a_n=6（C₃³+C₄³+C₅³++C_n+2³）（1分）
=6C_n+3⁴（2分）
=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

（1分）

點(diǎn)評：本題主要是構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)公式，然后結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)求出數(shù)列的前n和，要注意掌握構(gòu)造方法求通項(xiàng)的常見類型．