已知函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）試求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，結(jié)合f(
1
2
)=
2
5
，可求出a，b值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，設(shè)在（-1，1）上任取兩個(gè)數(shù)x1，x2，且x1＞x2，然后判定f（x1）-f（x2）的符號(hào)，從而得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即b=0
又∵f(
1
2
)=
2
5
，∴
a
2
1+
1
4
=
2
5
，解得a=1
∴f(x)=
x
1+x2
．
（2）任取任取兩個(gè)數(shù)x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
=
(x1-x2)(1-x1•x2)
(1+x12)(1+x22)
＜0
因?yàn)閤1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1+x12＞0，1+x22＞0，1-x1•x2＞0
則f（x1）＜f（x2）
故函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
在（-1，1）上單調(diào)遞增
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的證明，解題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)判定符號(hào)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案