Question

（2001•江西）某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線(xiàn)的一部分繞其中軸（即雙曲線(xiàn)的虛軸）旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A′是雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B′是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．
（Ⅰ）建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出該雙曲線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求冷卻塔的容積（精確到10m³，塔壁厚度不計(jì)，π取3.14）．

Answer 1

分析：（I）建立直角坐標(biāo)系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CC′與BB′平行于x軸，設(shè)出B、C的坐標(biāo)，利用B、C在雙曲線(xiàn)上，塔高20m，可得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）利用定積分知識(shí)，可求冷卻塔的容積．

解答：解：（I）如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CC′與BB′平行于x軸．
設(shè)雙曲線(xiàn)方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，則a=

1

2

AA′=7．
又設(shè)B（11，y₁），C（9，y₂），
因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線(xiàn)上，所以有

112

72

-

y 2 1

b2

=1，①

92

72

-

y 2 2

b2

=1，②
由題意知y₂-y₁=20．③
由①、②、③得y1=-12，y2=8，b=7

2

．
故雙曲線(xiàn)方程為

x2

49

-

y2

98

=1；
（II）由雙曲線(xiàn)方程得x2=

1

2

y2+49．
設(shè)冷卻塔的容積為V（m³），則V=π

∫

y2 y1

x2dy=π

∫

8 -12

(

1

2

y2+49)dy=π(

1

6

y3+49y)

|

8 -12

，
∴V≈4.25×10³（m³）．
答：冷卻塔的容積為4.25×10³（m³）．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線(xiàn)方程和解方程組等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力．