Question

【題目】記U={1，2，…，100}，對數列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=，定義ST=0；若T={t1 ， t2 ， …，tk}，定義ST= + +…+ ．例如：T={1，3，66}時，ST=a1+a3+a66 ． 現設{an}（n∈N*）是公比為3的等比數列，且當T={2，4}時，ST=30．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）對任意正整數k（1≤k≤100），若T{1，2，…，k}，求證：ST＜ak+1；
（3）設CU，DU，SC≥SD ， 求證：SC+SC∩D≥2SD ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當 時， ，因此 ，從而 ，

（2）

證明：

（3）

解：設 ， ，則 ， ， ， ，因此原題就等價于證明 ．

由條件 可知 ．

① 若 ，則 ，所以 ．

② 若 ，由 可知 ，設 中最大元素為 ， 中最大元素為 ，

若 ，則由第⑵小題， ，矛盾．

因為 ，所以 ，所以 ，

，即 ．

綜上所述， ，因此SC+SC∩D≥2SD．

【解析】（1）根據題意，由ST的定義，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，計算可得a2=3，進而可得a1的值，由等比數列通項公式即可得答案；
（2）根據題意，由ST的定義，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1 ， 由等比數列的前n項和公式計算可得證明；
（3）設A=C（C∩D），B=D（C∩D），則A∩B=，進而分析可以將原命題轉化為證明SC≥2SB ， 分2種情況進行討論：①、若B=，②、若B≠，可以證明得到SA≥2SB ， 即可得證明
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：．