Question

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如.

 （1）求的值；

（2）若在區(qū)間上存在x，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）求函數(shù)的值域.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）。

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042219563154723670/SYS201304221957395003267892_DA.files/image004.png">，所以 ------2分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042219563154723670/SYS201304221957395003267892_DA.files/image006.png">，所以,          -------------------3分

則.

求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，顯然有,

所以在區(qū)間上遞增,                -------------------4分

即可得在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042219563154723670/SYS201304221957395003267892_DA.files/image013.png">,

在區(qū)間上存在x，使得成立，所以. ---------------6分

（3）由于的表達(dá)式關(guān)于x與對(duì)稱，且x>0，不妨設(shè)x³1.

當(dāng)x=1時(shí)，=1，則;           ----------------------7分

當(dāng)x>1時(shí)，設(shè)x= n+，nÎN^*，0£<1.

則[x]= n，，所以.   -----------------8分

，

在[1，+¥)上是增函數(shù)，又，

,

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，                  … 10分

故時(shí)，的值域?yàn)?i>I₁∪I₂∪…∪I_n∪…

設(shè),

則.

,

\當(dāng)n³2時(shí)，a₂= a₃< a₄<…< a_n<…

又b_n單調(diào)遞減，\ b₂> b₃>…> b_n>…

\[ a₂，b₂)= I₂I₃I₄…I_n…       ----------------------11分

\ I₁∪I₂∪…∪I_n∪… = I₁∪I₂=

綜上所述，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013042219563154723670/SYS201304221957395003267892_DA.files/image003.png">. ----------------------12分

考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的值域。

點(diǎn)評(píng)：我們要注意恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題的區(qū)別。恒成立問(wèn)題：通常采用變量分離法解決恒成立問(wèn)題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立；存在性問(wèn)題：思路1：存在使成立；思路2: 存在使成立。