Question

（2012•天津）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函數(shù)的兩角和與差的公式與輔助角公式將f（x）=sin（2x+

π

3

）+sin（2x-

π

3

）+2cos²x-1化為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）可分析得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

8

]上是增函數(shù)，在區(qū)間[

π

8

，

π

4

]上是減函數(shù)，從而可求得f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=sin2x•cos

π

3

+cos2x•sin

π

3

+sin2x•cos

π

3

-cos2x•sin

π

3

+cos2x
=sin2x+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

8

]上是增函數(shù)，在區(qū)間[

π

8

，

π

4

]上是減函數(shù)，
又f（-

π

4

）=-1，f（

π

8

）=

2

，f（

π

4

）=1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上的最大值為

2

，最小值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的兩角和與差的公式與輔助角公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）是關(guān)鍵，屬于中檔題．