Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-x-

1

a

）e^ax（a≠0）
（1）求曲線y=f（x）在點A（0，f（0））處的切線方程
（2）當a＜0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（3）當a＞0時，若不等式f（x）+

3

a

≥0，對x∈[-

3

a

，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x），然后求出f（0），f'（0）的值，得到了切點坐標和切線的斜率，利用點斜式方程即可求出切線方程；
（2）先求出f′（x）=0的值，討論a與-2的大小關系，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）討論滿足f′（x）=0的點將區(qū)間[-

3

a

，+∞）分成幾段，然后利用列表法求出f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，來確定極值，從而求出最小值，使[f（x）+

3

a

]_min≥0恒成立，求出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）f'（x）=e^ax（ax+2）（x-1），f（0）=-

1

a

，f'（0）=-2
所以切線方程為2x+y+

1

a

=0
（2）令f′（x）=0則x=1或-

2

a

當a＜-2時，f（x）在（-∞，-

2

a

）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（-

2

a

，1）上單調(diào)遞增；
當a=-2時，f′（x）≤0，f（x）在R上減函數(shù)；
當-2＜a＜0時，f（x）在（-∞，1）和（-

2

a

，+∞）上單調(diào)遞減，在（1，-

2

a

）上單調(diào)遞增；
（3）當a＞0時，

∵f（-

3

a

）＞0，f（1）＜0∴f（1）=-

1

a

e^a為最小值
∴-

1

a

e^a+

3

a

≥0對x∈[-

3

a

，+∞）恒成立∴a∈（0，ln3]

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，考查計算能力和分析問題的能力，屬于基礎題．